Abbiamo visto la legge che ci dice quanti oggetti si possono contare con una data sequenza di bit: 2n se n sono i bit a disposizione.
Questa legge ci dice che aumentando il numero di bit, la quantità di oggetti che si possono contare aumenta enormemente. Questa cosa era nota anche agli antichi.
Nella Divina Commedia, Paradiso, XXVIII canto (vers. 91-88), Dante, a proposito delle parole appena pronunciate da Beatrice, scrive
E, poi che le parole sue restaro,
non altrimenti ferro disfavilla
che bolle, come i cerchi sfavillaro:
l'incendio suo seguiva ogni scintilla;
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar de li scacchi s'immilla
il numero delle scintille scaturite dalle parole di Beatrice si moltiplicano (s'immillano, immillarsi, aumentare tantissimo, moltiplicarsi per mille più volte) più che il raddoppiare degli scacchi.
Qui Dante si rifà ad una novella indiana secondo la quale, l'inventore degli scacchi avrebbe chiesto in ricompensa al suo re un chicco di grano sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e via raddoppiando. Al re questo sembrò nulla ma quando fu fatto il calcolo emerse che neanche coltivando a grano tutte le terre conosciute sarebbe stato possibile soddisfare tale richiesta!
Proviamo a farci un'idea di questa quantità.
Prima di tutto bisogna appurare quanti sono i chicchi di grano.
Nella prima casella poniamo un chicco.
Nella seconda 2 e in tutto sono 3.
Nella terza 4 e in tutto sono 7.
E' facile vedere che se il numero della casella che stiamo riempiendo è n, il numero di chicchi è dato da 2n-1.
Quindi per 64 caselle, il numero totale di chicchi sarà dato da 264-1.
Questo numero è veramente grande.
Per farsi un'idea del suo valore conviene esprimerlo in potenze di 10 anzichè di 2.
Questo si fa risolvendo la seguente equazione
10x=264
Usando i logaritmi si ricava x:
x=64log102=19.3
Quindi il numero di chicchi è circa 1019.3.
Detto in parole sarebbero più di 10 miliardi di miliardi di chicchi.
Se pesiamo dei chicchi di grano, troviamo che ce ne vogliono 100 per fare 5 grammi.
Un chicco di grano pesa quindi 5x10-2 grammi = 50 milligrammi.
Facendo il conto si trova che la quantità richiesta dal matematico al suo re è pari a 5x1012.3 quintali (un quintale sono cento chili).
Sembra tanta roba ma è così tanta che si fa fatica a visualizzarla!
Ebbene, sappiate allora che il consumo di grano di un paese come l'Italia si aggira intorno a 75 milioni (75x106) di quintali l'anno.
Questo significa che con quella quantità di grano si soddisferebbe il fabbisogno di grano dell'Italia per 10.000 anni!